【每周一题·推理】猴子分果子

昊天

       老猴子采回来一堆果子，小猴子们立即围上来讨要。老猴子说：“你们可以得到果子，但必须排好队按我说的办法依次来取。”于是，小猴子们排好了队。老猴子让第一只小猴子先拿一颗果子，再拿走剩余果子的1/19；让第二只小猴子先拿两颗，再拿走剩余果子的1/19；第三只小猴子先拿三颗，再拿走剩余果子的1/19；……直到第N只也就是最后一只小猴子，正好还有N颗果子全部给了它。请问小猴子有多少只？总共有多少颗果子？

（本题难度 ** ）

6.042963902

有猴子18只，果子324颗。
不过我怎么觉得少了一个条件？是不是应该有一个条件是每只猴子拿到的果子数目都是一样多？如果不是的话我再想想。

6.042963902

又想了一下，不用我说的那个条件也能推出来，但好像挺麻烦的，而且我不能证明答案唯一。
第N只猴子拿了N个果子，第N-1只猴子拿的果子数，除了N-1个以外，还有剩余果子总数的1/19，剩余果子总数是x，则x-x/19=N，x=19N/18，x/19=N/18，所以第N-1只猴子拿了N-1+N/18个果子，所以N必然能被18整除，是18、36、54……
而同理，每只猴子拿到的果子除了自己的编号外，还要是他后面所有猴子拿的果子总数的1/18。
如果是36，则第34即N-2只猴子拿到的果子数应该是34+第35、36只猴子拿的果子数的1/18，第35只猴子拿了37个果子，36只猴子拿了36个果子，这两个数加起来不能被18整除，排除，54、72等也同理排除，下一个能满足这个条件的数是342（18的19倍，以后能满足的都应该是18*N+1倍），这样第339只（即N-3只）猴子的条件又不符合了，最后数来数去N只能等于18.
所以18只猴子，容易算出果子总数是324.
我可以确定往18的无穷倍数数也没有再能满足条件的数了，但不能证明，而如果加上我说的条件又太简单了。
比较笨，只能想到这种推法，有别的推法请高人指教。

笑龙

设x(n)为至第n只猴子时剩余的果子数，S为总数，则x(1)=S,x(n)=N
18/19n+(n-1)=x(n-1)
18/19x(n-1)+(n-2)=x(n-2)
.
.
.
18/19x(2)+1=S
S=1+18/19(18/19x(3)+2)=1+(18/19)^2*x(3)+18/19*2
=1+18/19*2+(18/19)^2*x(3)
=1+18/19*2+(18/19)^2*(18/19x(4)+3)=1+18/19*2+(18/19)^3*x(4)+(18/19)^2*3
=...
=1+18/19*2+(18/19)^2*3+...+(18/19)^(n-2)*(n-1)+(18/19)^(n-1)*n

如果不给每个猴子拿到的数量相等也就写到这了......
如果有每个都相等且等于n，那么S=n^2
最后一个x(n)=n,x(n-1)=18/19n+(n-1)     x(n-1)-x(n)=n
1/18n+n-1=n-----n=18
S=n^2=324

昊天

2L正确。
智力题并不等于数学题，除非题目本身有要求，不一定都要有严格证明。有时只要找出符合题意的正确答案就行。