“神剑杯”有奖智力竞赛

昊天

“神剑杯”有奖智力竞赛

    本帖为答题专用帖，请勿在此帖提问，讨论，严禁灌水。答题前请先到公告帖仔细阅读竞赛规则。注意答题须将答案隐藏，设定积分限制为100000以上。回帖答题后不得编辑修改，想修改答案的可以再次回帖。每个参赛者的个人总分以他得分最高的一个帖子为准。未隐藏的和编辑过的答案均无效。

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竞赛题：

1、请你用四个4和数学符号排出一个算式，使结果等于71。（本题10分）


2、装配车间使用两种垫片。两种垫片大小形状色泽都一样，只是重量不同。普通垫片每只重5克，而合金垫片每只重6克。它们放在标准的备品合里，给装配线上的工人取用。（备品合是装配线上临时用来放配件的容器，车间里有很多这样的空备品合供周转使用，它们的大小、外观和重量都一样。）本来装有这两种垫片的合子是放在不同位置上的，可是一位新来的工人在打扫卫生搬动时以为它们是同类的物品而把它们混到了一起。好在还只是合子混在一起了，每只合子中还是只有一种垫片的。现在总共有十合垫片，每合约有1000只，但不知道两种垫片各有几合。因为事先没在合子外面做标记，所以唯一的办法只有通过称重才能区分开两种垫片。可是车间里仅有的一台台秤在装配线上很忙。为了尽量减少对正常生产的干扰，请你想出一种办法，使用最少的称重次数，又能确保区分开两种垫片。说出需要称几次，怎样称？以及分开两种垫片的方法。（本题10分）


3、中国象棋的马虽然行走的路线比较特别——走“日”字，但却能够自由地跳遍象棋盘的每一个交叉点。如果只用半张棋盘，也就是不过界河，马应该从哪个点出发，才能不重复地跳遍半个棋盘上的所有交叉点而又回到原来的出发点？请说明理由。（本题10分）


4、阿惠急于要称一批东西，可日常用的称坏了。她在仓库找出一台天平，虽是旧的，到还能用，就是砝码一时找不到。她想起自己有一条金链，上面有金环66个，每个重1克。金环的重量比较准，拆开便可临时代替砝码。为了以后能方便复原，要尽量减少拆开的环数。请你帮助阿惠想一想，为了能够称量出1—66克之间的任一整克重，最少需要拆开金链上的几个环？简述拆哪几个环和怎样称。（本题10分）


5、教数学的王老师班上新调来三名学生，王老师听说这三名学生的数学都很好，就想对他们测试一下。他让三位同学分别坐在办公桌的三面，在他们每人面前放了一张合着的卡片，然后说：“你们面前的三张卡片上分别写的是三个不同的自然数，甲同学面前的数最小，乙同学面前的数大一些，丙同学面前的数最大。已知三个数相乘的积是900。”他对甲说：“你现在打开你面前的卡片看看是什么数，注意别让他们俩看到。你能根据你手中的数猜出另外两个数字来吗？”甲想了想，又拿起笔来计算了一下，说：“不能！”王老师又让乙看过面前的卡片再猜另两个数，乙也计算了一下后说：“不能！”再以同样的方法问丙，丙计算后也说：“不能！”王老师说：“你们三人都不能根据自己手上的数字猜出另两个数字，可如果换位思考一下，是不是能有所发现呢？”三位同学犹豫了一下，又互相看了看。突然，甲和丙几乎同时说：“我知道他们手上的数字了！”接着乙也高兴地说：“我也知道了！”于是他们三人在卡片上各自写出了别人手上的数字，一核对，三人卡片上的三个数字果然是一样的。王老师笑着说：“你们都是聪明的好学生！”如果你也能写出这三个数来，并说出你推理的方法，你就有可能比那三位学生更聪明喔！（本题10分）


6、2010年结束了，这一年给我们留下了哪些难以忘怀的记忆呢？其实，2010这个数字也是有很多特殊性质的，我现在就给大家介绍一个有趣的性质。2010可以拆分成四个数：500，501，503，506，这四个数的和等于2010，而相邻每两个数的差1，2，3，是一组连续的自然数。拆分的方法并不是唯一的，如还可以拆成497，500，504，509，相邻每两个数的差3，4，5，也是一组连续的自然数。我们还可以把2010拆分成五个数，如拆成300，350，401，453，506，相邻每两个数的差50，51，52，53，还是一组连续的自然数。如果我们再进一步研究一下，就会发现，在达到上述要求（即和等于2010，相邻每两个数的差是一组连续的自然数）的前提下，还可以拆分成更多的数，如拆成9个、10个……N个。现在问题是：N最大能够是多少？在N最大时，拆分的方法仍然可能不是唯一的，如果你能把N最大时的几种拆分方法所拆出的数列都写出来，你就能得到最高分了。（本题20分）


7、扬扬刚学了小数的四则运算，家庭作业里有一道四个数连乘的题。偷懒的扬扬趁爸爸不在，拿来了爸爸的计算器做习题。可粗心的他却按错了键，将四数连乘做成了连加，得数是8.01。作业上交后老师居然没发现有错，你知道是怎么回事吗？已知这四个数都是正数，且小数部分都不超过两位，你能猜出它们是哪四个数吗？（本题20分）


8、有二十颗外形、大小、重量完全一样的球，其中有两颗带有放射性。现在要用测量仪器找出这两颗放射性球。测量仪器一次可以测量任意颗球，但只能判断出放射性球是否存在，不能判断出放射性球的数量。问最少要测量几次才能保证找出这两颗带放射性的球？须分析测量过程中出现的各种可能。（本题30分）


9、【附加题】用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字组成一个十位数，使这个十位数能够被2，3，4，5，6，7，8，9，10九个数整除。找出一个这样的十位数也许并不算太难，因为这样的十位数实际上是有很多个的。但是你能找出它们之中最小的和最大的那两个来吗？（至少找出一个符合要求的十位数来得10分，正确找出最小的和最大的各加10分，本题最高得分30分。）

FFF

1. (4x4)/4+4  =  8 = VIII =VII I = 71  

FFF

1. (4x4)/4+4  =  8 = VIII =VII I = 71

4.拆開的次數為7次，共分成8條小鍊，個數分别為1/2/3/4/7/11/18/20，1-66的重量皆可由此8個數目的小鍊組合而成。

例：45 = 20 +18 + 7三條小鍊合出。

冷月凝霜

我先来答第4题
可以将项链分为5份：
质量分别为：1、3、27、26克。
因为已经有了一个26克的“珍珠砝码”，所以我只需要说明如何来称1~27克的东西就可以了。
1克的已经有了，直接称。
2克的：可以把3克的放在天平的一段，1克的和被称物品放在另一端。天平平衡时，被称物品就是2克。
3克的：已经有了。
4克的：3克+1克。
5克的：9克-3克-1克
6克的：9克-3克
7克的：9+1-3
8:9-1
9：已经有了
10：9+1
11：9+3-1
12:9+3
13:9+3+1
14:27-9-3-1
15:27-9-3
16:27+1-9-3
17:27-9-1
18:27-9
19:27+1-9
20:27+3-9-1
21:27+3-9
22:27+3+1-9
23:27-3-1
24:27-3
25:27+1-3
26:27-1
27:27

FFF

那些謎題都好難....已經懶得去想了 - -

医学百晓生

太难了，做几道会做的吧！
1、4!+4!+4!-cos4’=71
4、把66个环拆成1、1、2、4、9、16、33，这样的话，可以称出1-66所有的数，前面      1、1、2、4、9可以计算1-17任意的数，后面对应的加上16和33就OK了。
5、三个数字应该是甲3，乙10，丙30，应为根据题目条件，第一轮甲乙丙三人都未算出其他人数字，第二轮都算出了，表示他们猜测对方数字都是两种情况，甲3时，猜乙6，丙15或者乙10，丙30;同理，乙10时，可以猜甲2，丙15，或者甲3，丙30；丙30时，猜甲2，乙15或者甲3，乙10。

医学百晓生

再补充一道题
3、哈密顿图
从棋盘边上两排的兵向上的位置即半个棋盘靠近楚河汉界的那两个角开始跳都行，最后终点在炮位上方的位置，即4个位置。

冷月凝霜

答第二道题。
首先取出10个空盒子按照1~10进行编号。
从第1个盒子中拿出1个垫圈放在1号盒子中；
从第2个盒子中拿出2个垫圈放在2号盒子中；
从第3个盒子中拿出4个垫圈放在3号盒子中；
从第4个盒子中拿出8个垫圈放在4号盒子中；
从第5个盒子中拿出16个垫圈放在5号盒子中；
从第6个盒子中拿出32个垫圈放在6号盒子中；
从第7个盒子中拿出64个垫圈放在7号盒子中；
从第8个盒子中拿出128个垫圈放在8号盒子中；
从第9个盒子中拿出256个垫圈放在9号盒子中；
从第10个盒子中拿出512个垫圈放在10号盒子中。

将以上1~10号盒子放在天平的左端。
将10个空盒子和对应的砝码数量放在盒子的右端，使天平达到平衡。
这个时候假如称出来的质量为M
用M-(1+2+4+8+16+32+64+128+256+512)*5再将此结果转换为10位的二进制数（高位没有的用零来补足）。
观察一下这个10位的二进制数。从右向左（低位到高位）分别编号为1~10位。如果对应位数的数字为0，则其对应编号的盒子中放的是5克的垫圈，
假如其对应的位数数字为1，则对应序号的盒子中放的是6克的垫圈。

这样的话只需要称一次就可以了。

宁夜

第一题：4(3次方)+4+4（开根号）+4（零次方）=64+4+2+1=71

冷月凝霜

第7题：
这四个数相加之和与相乘之积都为8.01。
这个四个数分别是：3.56  2.5  1.2   0.75

冷月凝霜

呃，第九题附加题似乎并不难……
最小数为：1234759680
最大数为：9875643120

冷月凝霜

第一题：
4！+4！+4！+[ln4]
4！表示4的阶乘即4*3*2*1=24
而[]则表示取整运算[ln4]=1。

天一水

  7.   2.5, 3.56, 0.75, 1.2

天一水

9.最小：1234759680
   最大：9876351240

天一水

1.  4!+4!+4!+i^(√͞4)  = 71
     
6.
N=20 有兩種拆解方法。
1.        34、35、37、40、44、49、55、62、70、79、89、100、112、125、139、154、170、187、205、224(相鄰每兩個數之差分別是1-19)
2.        15、18、22、27、33、40、48、57、67、78、90、103、117、132、148、165、183、202、222、243((相鄰每兩個數之差分別是3-21)

winson7891

这么多题啊~一次答完是不可能的~分几次慢慢来可以吧？
一定要全部答案放在同一个贴子么？
PS: 先答3题，其他慢慢补上，截止日期是什么时候？
答案在此：

1，其实我做不出来，不过5个4组合的话，倒是可以做到，先记下来吧：
       4! + 4! + 4! - 4/4 = 71

2略
3略
4，66个环，其实只要可以用加法表示1~33的重量就好了，到后面用剩下的部分，用减法即可表示34~66
不过呢，也不一定以33来划分，我是这么干的：
分成1,2,2,5,10,20,26共七部分
1,2,2,5可以称出1~10不解释了
加上一个10,1~20可解，
加上20,1~40可解
剩下的，用减法，全部押上为66，只拿出1不放为65……以此类推
66~57为拿出1,2,2,5中一个或多个，不冗述，可解
56~46为拿出10和1,2,2,5中一个或多个
46~36为拿出20，还有1,2,2,5中一个或多个

1~66全部可以表达出来，没冲突

故，可解，共需分为7部分

5略
6略
7略
8略
9，根据被整除的性质，因为要被10整除，所以个位为0没悬念
因此2,5,10必然被整除
其他的数字嘛……
由于被3整除的数字，其所有位数之和也必然被3整除（不证明，事实如此）
9跟3相似，而9+8+……+1=45，所以无论怎么排，3,9必然被整除
同时被2和3整除，6必然被整除
剩下4,7,8这三个数字才是真正要考虑的
由于100/4=25整除，所以该数字的个位和十位所组成的二位数，必须被4整除
所以末两位只能是20,40,60,80其中之一
8的情况相似，1000/8=125整除，考虑末三位（这个不是必然，但可以这么考虑）
得出结果，只有
280和560符合
同时，这个数字要被7整除，但是被7整除的二位数除了70，所有数字个位都不为0
所以截去数字0，剩下的九位数要被7整除
根据被7整除的性质，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则这个数被7整除
这个比较麻烦，但由于我们有了上面的推论
所以我们可以从9874321560开始碰撞……结尾用560因为280包含数字8
如果碰到不能整除，则把数字换位，其实选择也不是很多……
最后得出数字：9874312560
9874312560/7=1410616080可被整除，因为是987开头的，所以怎么说也是最大的了没悬念（除非上面的推论错了，我认命）
最小那个么~继续撞，这次结尾依然用560，因为280包含数字2
从1234789560开始撞~同样的方法
最后得出数字：1237894560
1237894560/7=176842080可被整除，123开头的应该没有更小得了吧……

winson7891

补充，上面已经回答1,4,9题，不重复了，这是第5题：
第5题看上去有点诡异，题目中有一句话：
王老师说：“你们三人都不能根据自己手上的数字猜出另两个数字，可如果换位思考一下，是不是能有所发现呢？”三位同学犹豫了一下，又互相看了看。
这个“相互看了看”是啥意思？看了对方的数字么？那谁猜不出来啊？
还是暗示数字组合是唯一的？所以他们才想出来了？

不管了，这是第5题答案：
5，诡异的题目
首先确定题目3个数字，a,b,c,我们有条件：
abc=900
a<>b<>c
a<b<c
a，b，c可以分别猜出对方的数字
a，b，c为正整数，也就是自然数

再有:900=30*30=2*2*3*3*5*5
所以，a,b,c的因数也只能从900的因数里面取
所以，a=2*3=6,那么b只能是2*5=10，c只能是3*5=15
如果a=6，那么其他2人不可能拿别的数字，不然肯定会数字重复，或者大小冲突
同样，如果a=4,那么b只能是3*3=9，c=5*5=25
从b,c猜出其他数的方法也是类似，不多说了

另一方面，如果a=5,那么可能b为6，c为30，也可能b为9，c为20。不符题意，既然选择不是唯一的，那么应该不可能猜出来才对
还有一些类似的情况，极端点的，a=1，如果甲同学还能猜到，我想他应该是有透视眼
如果只是些分析过程，到这里已经结束了
如果要列出数字的可能性~那就列一下吧~不保证完整：
a=4,b=9,c=25
a=6,b=10,c=15
……
…………
好像就这2条，其他的组合好像都不能满足abc相互猜测对方的数字~

以上

FFF

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冷月凝霜

第6题答案：
N最大为20。
当N=20时，有以下两组数据满足要求：
第一组：
34
35
37
40
44
49
55
62
70
79
89
100
112
125
139
154
170
187
205
224

第二组：
15
18
22
27
33
40
48
57
67
78
90
103
117
132
148
165
183
202
222
243

冷月凝霜

更正第九题
任意数为：5319876240
最小数为：1234759680
最大数为：9875643120

6.042963902

看见晚了，前天才看见，忒难了，两天只做了4道题，做都这么难，佩服出题的昊天老大。
第1题
[（4+4）！+4！]/4!
4+4=8，阶乘为1680，4的阶乘为24，（1680+24）/24=71

第2题
最少只要称一次，把十个盒子编号为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，从甲盒取出1个垫片，乙盒取2个，丙盒取4个，丁盒取8个，以此类推，每盒都取出2的（n-1）次方个，直至最后癸盒取512个，十个盒子加起来共取出1023个垫片，一起放到称上称，得出重量为T。
设取出的垫片中有5克的普通垫片x个，6克的合金垫片y个，可以列出方程组x+y=1023，5x+6y=T，易求出x、y的值。
之前取出的个数为1、2、4、8、16、32、64、128、256、512，这10个数中的任意几个相加所得的和都不可能重复，所以可以根据x、y的值测出第几盒垫片是哪种，比如：
最后算出来x=393，y=630，就可以确定取出1个、8个、128个、256个的甲、丁、辛、壬盒为5克的普通垫片，其他盒是6克的合金垫片。

第4题
最少拆开4个环，拆的是第1个、第4个、第10个、第30个，就是说拆成5段，每段分别是1个、3个、6个、20个和36个金环。
需要称1克的物品时选用1个的环；称2克的物品时，把1个环和物品放在天平一边，3个环放在另一边；称3克的物品时选用3个的环；称4克的物品时选用1个加3个环；称5克的物品时，把1个环和物品放在天平一边，6个环放在另一边；称7克的物品时选用1个加6个环；称8克的物品时，把1个环和物品放在天平一边，3个环和6个环放在另一边；称9克的物品时选用3个加6个环；称10克的物品时选用1个加3个加6个环。这样1至10克都可以称出来了。
称11至19克的物品时，可以把20个环放在天平的一边，差额克数的环放在另一边，比如称16克的物品，把1个环、3个环和物品放在天平的一边，20个环放在另一边。
称20克的物品时，直接用20个环。
称21至25克的物品，用20个环加上1至5克的称法。比如称22克的物品，把1个环和物品放在天平一边，3个环和20个环放在另一边。
称26至30克的物品，有两种方法，一是用36个环减去6至10克，二是用20个环加上6至10克。比如称27克的物品，把3个环、6个环和物品放在天平一边，36个环放在另一边或者把物品放在一边，1个环、6个环、20个环放在另一边。
称31至35克的物品，用36个环，减去1至5克的称法，如称33克的物品，把3个环和物品放在天平一边，36个环放在另一边
称36克的物品，直接用36个环。
称36克以上的物品，用36个环加上1至30克的称法，如要称出48克，可以把3个环、6个环和物品放在一边，把1个环、20个环、36个环放在另一边。以此类推，直至把所有的环放到天平的一边，可以称出66克及以下任意整克的重量。

第9题
最小的数是1235487960
最大的数是9875643120
再找出一个数4781329560

天一水

1.   4!+4!+4!+i^(√&#862;4) =71

2.  至少稱10次---找不到更少-.-

3. 想不出

4. 將金鍊分拆成33環為一段(簡稱A)、17環為一段(簡稱B)、8環為一段(簡稱C)、4環為一段(簡稱D)、2環為一段(簡稱E)、1環為一段(簡稱F)、1環為一段(簡稱G)，共7段。
若稱1克用F；若稱2克用E；若稱3克用E+F；若稱4克用D；若稱5克用D+F；若稱6克用D+E…餘此類推…若稱66克用A+B+C+D+E+F+G。

5.不會

6.  N=20 有兩種拆解方法。
   1.        34、35、37、40、44、49、55、62、70、79、89、100、112、125、139、154、170、187、205、224(相鄰每兩個數之差分別是1-19)
     2.        15、18、22、27、33、40、48、57、67、78、90、103、117、132、148、165、183、202、222、243((相鄰每兩個數之差分別是3-21)

7.  2.5, 3.56, 0.75, 1.2

8.最少要9次。

首先將20個球均分成五組，一份四個球，並一一測量有否放射性球。那兩個放射性球有可能在不同組內，亦有可能在同一組。一開始假設它們在同一組。我們在測量時並不知它是否在同一組，或是分開成兩組。但在測量時先不論是否會出現哪種情況。先測量其中四組的球(共測量4次)。

CASE1:假設那四組中沒有一組被驗出有放射性(放射性球在同一組的最壞情況)，我們便知第五組四個球內有兩個放射性球。要保證從四個球驗出哪兩個為放射性球的最少次數為3(最直接的方法是分別測其中3個)。[在此CASE共要測7次]
CASE2A:那四組中僅有一組被驗出有放射性(是第四組被測出)，需加測第五組(共測5次)。若第五組沒有放射性，只需多測3次便可斷定第四組的4個球中哪兩個有放射性。[在此CASE共要測8次]
CASE2B:那四組中僅有一組被驗出有放射性(是第四組被測出)，需加測第五組(共測5次)。若第五組有放射性，意即兩個放射性球分別在不同組內。每組要測2次才能找出放射性球(方法為將其中一組的4個球均分為AB兩組，只測其中一組，若A被測出有放射性即B沒有，A沒有則B有，餘此類推)[此CASE共需測9次]

9.最小：1234759680
最大：9876351240

天一水

1.   4!+4!+4!+i^(√&#862;4) =71

2.  至少稱10次---找不到更少-.-

3. 想不出

4. 將金鍊分拆成33環為一段(簡稱A)、17環為一段(簡稱B)、8環為一段(簡稱C)、4環為一段(簡稱D)、2環為一段(簡稱E)、1環為一段(簡稱F)、1環為一段(簡稱G)，共7段。
若稱1克用F；若稱2克用E；若稱3克用E+F；若稱4克用D；若稱5克用D+F；若稱6克用D+E…餘此類推…若稱66克用A+B+C+D+E+F+G。

5.不會

6.  N=20 有兩種拆解方法。
   1.        34、35、37、40、44、49、55、62、70、79、89、100、112、125、139、154、170、187、205、224(相鄰每兩個數之差分別是1-19)
     2.        15、18、22、27、33、40、48、57、67、78、90、103、117、132、148、165、183、202、222、243((相鄰每兩個數之差分別是3-21)

7.  2.5, 3.56, 0.75, 1.2

8.最少要9次。

首先將20個球均分成五組，一份四個球，並一一測量有否放射性球。那兩個放射性球有可能在不同組內，亦有可能在同一組。一開始假設它們在同一組。我們在測量時並不知它是否在同一組，或是分開成兩組。但在測量時先不論是否會出現哪種情況。先測量其中四組的球(共測量4次)。

CASE1:假設那四組中沒有一組被驗出有放射性(放射性球在同一組的最壞情況)，我們便知第五組四個球內有兩個放射性球。要保證從四個球驗出哪兩個為放射性球的最少次數為3(最直接的方法是分別測其中3個)。[在此CASE共要測7次]
CASE2A:那四組中僅有一組被驗出有放射性(是第四組被測出)，需加測第五組(共測5次)。若第五組沒有放射性，只需多測3次便可斷定第四組的4個球中哪兩個有放射性。[在此CASE共要測8次]
CASE2B:那四組中僅有一組被驗出有放射性(是第四組被測出)，需加測第五組(共測5次)。若第五組有放射性，意即兩個放射性球分別在不同組內。每組要測2次才能找出放射性球(方法為將其中一組的4個球均分為AB兩組，只測其中一組，若A被測出有放射性即B沒有，A沒有則B有，餘此類推)[此CASE共需測9次]

9.最小：1234759680
最大：9876351240
不大不小：9876134520

昊天

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