每周一题——月考题

墨岚 · 发表于 2011-2-28 19:15

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月考数学题，把大家难为坏了。和课内应当没有关系。
1.n个正方体（变长为整数）的体积和为2005，求n最小值，并说明理由
2.n个正方体（变长为整数）的体积和为2002的2005次方，求n最小值，并说明理由
PS：摆出来不难，但是怎么说理由啊？

奔波兒灞 · 发表于 2011-2-28 19:37

第一题我只会穷举……

第二题不会……

光与暗之间 · 发表于 2011-2-28 20:05

没有说正方体都一样对吧？怎么让我想起了微分方程？

孤风 · 发表于 2011-2-28 20:11

2004是3的倍数，2002的2005次方可以看做2002*2002^2004,后者是立方数，只需要对2002做拆分，每一个拆出来的乘个2002^2004就可以了。

askeee · 发表于 2011-3-1 04:34

深夜值班无聊花半小时画了画，第一个边长是12、5、5、3。第二个是10，10，1，1每个都乘以2002的668次方，手机打的。。。值班好痛苦啊。。。

墨岚 · 发表于 2011-3-1 17:10

回复 4 # 孤风的帖子

我记得不太准，不过答案似乎是个位数。另外孤风你得思路我没太看懂，如果是3的7次方，你要拆成3的2次方变长的正方体吗，那样会和最小值差出很多的

墨岚 · 发表于 2011-3-1 17:11

回复 5 # askeee 的帖子

很感谢。第一个对了，第二个不太清楚，不过这个答案有很多人想出来，最关键的问题是大家都不会说理由

孤风 · 发表于 2011-3-1 17:23

本帖最后由孤风于 2011-3-1 17:46 编辑

回复 7 # 墨岚的帖子

我的形容不太清楚，不过我的意思就是类似于那位给出答案的兄台，第二个答案在2002的猜分基础上，每一个拆出来的数乘上2002的668次方。
其实说起来理由也不难，本质上就是枚举，现在已经给了4的情况，只需要证明小过4不可能就是了。
1的情况不讨论了，2的时候，必然有一个较大的立方数会大于1000，而11^3=1331,12^3=1728,13^3>2100,所以只用试两次，就知道都不满足。
三的情况下，最大那个立方数要大于2002/3>660，无非也就是9-12，结合上最大这个条件，一个个枚举，所有情况加起来应该不会多于10次。
这三种情况都不满足，必然最小值就是4.

墨岚 · 发表于 2011-3-1 18:08

回复 8 # 孤风的帖子

我的想法是用数论中的同余来做，不过没想好怎么说明，立方数的特点应该是MOD7余1或6，下面思路就乱了

askeee · 发表于 2011-3-1 20:03

回复 7 # 墨岚的帖子

确实不好说名我和上面那位的做法差不多就是有点技巧的穷举第二个更难说了

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