《“神剑杯”有奖智力竞赛》后话（三）

昊天

       对第三题再补充一句，本题解题的关键技巧是奇偶分析。在智力世界中，这是一个很重要的技巧。今后我们也许还会用得着的。
       第四题本质是个级数问题。
       本题有一个小小的迷惑人处，居然就绕住了大家。对于一条用一只只环串成的链条，如果从中间截断，链条会被分成几份呢？有人会说，当然是变成两条啦！可是只要稍稍动动脑子想一想，那只被破开了口的环，不是就可以从链条上取下来了吗？怎么可能还粘在上面呢？老式的金链，都是若干金环环环相扣的那种链子，而且每只环也并不焊死，一撬便开。这不但是为了便于制作，也是出于安全考虑，否则一条拉不断的链子绕在脖子上，一不小心不要出人命吗？当然现在的制造工艺技术水平提高了，金链也有了一些新的式样和结构，如串珠链之类，但多数还是传统的环链。这个问题实际上也考验了我们对日常事物的观察力。
       回到级数问题上来。与本题一类的问题中最基本的是所谓砝码问题。也就是使用天平称一定范围内的所有整数克重，最少需要几枚砝码的问题。如果严格执行砝码放左边的规定，答案应该是1，2，4，8，16，……，即an=2^(n-1)，理由是an=sn-1+1。如果左右都允许放砝码（智力题就是要打破常规的思维，所以如果不作特别说明，就应当去考虑左右都允许放砝码的情形），那么答案就要改成1，3，9，27，81，……，即an=3^(n-1)，理由是an=2sn-1+1。更详细的道理我就不多说了，请读者自已理解一下。本题是后一种类型的变化，只是多增加了一个a1项而已。
       上周的【每周一题】“又一个金链的问题”则又是一种变化。这一题要求an=sn-1+1。所以这两个题既类似又不同。对于智力竞赛第四题而言，拆开两个环最大能解决67以内的称重问题；而对于“又一个金链的问题”，拆开两个环最大只能解决23以内的支付问题，而拆开三个环才能最大解决63以内的支付问题，所以答案便是拆开三个环了。（两道题的难度其实差不太多，所以“又一个金链的问题”也应该是三星题。不过在已经有了智力竞赛第四题的答案提示的情况下，难度至少也得降一个等级吧。谁知……）
注：以上a1表示数列第1项，an表示数列第n项，sn-1表示数列前n-1项的和。

（未完待续）

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