《“神剑杯”有奖智力竞赛》后话（五）

昊天

       级数还是中学时学的。那时候，想推导一个普通数列的通项公式和求和公式，好象也不是太难，可现在都快忘得差不多了。前几天我在写“后话（四）”时，对常数项(n-1)(n-2)/2前N项的和，一时就是想不出它的求和公式，所以只好以Sn暂代，现在总算想出来了：Sn=n(n-1)(n-2)/6。下面言归正传。

       考察这个数列，它是由三部分组成：p项、q项和常数项。p项的系数常为1，其前N项的和为np；q项的系数为n-1，其前N项的和为(n(n-1)/2)q；常数项为(n-1)(n-2)/2，其前N项的和为n(n-1)(n-2)/6。由此得到方程：
       np + (n(n-1)/2)q + n(n-1)(n-2)/6 = 2010
       当p、q都取最小值1时，这个方程的左端随着n值的增加而增大，当n=23时，前23项的和为2047，大于2010了，所以n的值一定小于23。从n=22开始，使n逐次递减，代入方程，求p、q的正整数解（这一步好象没有更好的办法，只能穷举，好在n的范围不大，计算量有限）。计算得知，当n=22、n=21时，p、q均无正整数解。当n=20时，有两组解：p=34，q=1和p=15，q=3。计算过程不详说了，有兴趣的可以自己做一做。
       其实就算是没有学过级数，或者虽然知道级数，却不会推导通项公式和求和公式的同学，只要脑筋够灵活，照样也可以把这道题做出来的。只要列出这样的一个表格：第一行是自然数序列，也就是n；第二行是q的系数n-1；第三行是常数项，它的首项为0，第N项等于第二行N-1项与本行N-1项的和（想一想为什么）；第四行是q的系数前N项的和，它的第N项等于第二行前N项的和；第五行是常数项前N项的和，它的第N项等于第三行前N项的和。这样一个表格填到第23列发现已超出2010便可停止（下面列出了这个表格的前6项和后5项，有兴趣的可以自己补足）。然后从第22列开始，以第一行的值为p的系数，以第四行的值为q的系数，以第五行的值为常数项，列方程，求p、q的正整数解。如找不到p、q的正整数解便后退一列，直到找到p、q的正整数解为止。
       ① 1   2   3   4   5   6    ……   19     20     21     22     23
       ② 0   1   2   3   4   5    ……   18     19     20     21     22
       ③ 0   0   1   3   6  10   ……  153   171   190   210   231
       ④ 0   1   3   6  10  15  ……  171   190   210   231   253
       ⑤ 0   0   1   4  10  20  ……  969 1140 1330 1540 1771

       我在编写这道题之初，本来是想用2011来拆的。可要是方程右端等于2011，最后求出的N的最大值未免太小，题目便失去了趣味性。所以只能用2010了。有兴趣的同学也可以算一下，按照本题的规则，2011最多能拆成几个数。

（未完待续）

《“神剑杯”有奖智力竞赛》后话（一）的链接：http://www.txdx.net/thread-463786-1-1.html
《“神剑杯”有奖智力竞赛》后话（二）的链接：http://www.txdx.net/thread-464222-1-1.html
《“神剑杯”有奖智力竞赛》后话（三）的链接：http://www.txdx.net/thread-464552-1-1.html
《“神剑杯”有奖智力竞赛》后话（四）的链接：http://www.txdx.net/thread-465135-1-1.html