【每周一题·推理】三等分三角形

昊天

       十二根火柴围成一个三角形（如图），要求在三角形中再放入四根火柴，把这个三角形分割成面积相等的三份。不得将火柴折弯或截断、截短。

（本题难度 *** ）


这道题稍有点难度，供大家节假日中思考！

笑天涯

示意图如上，
摆放的角度用
S=0.5absinθ和c^2=a^2+b^2-2abcosθ
这两个公式(列方程)可以计算两边长，
我解了一下上侧两边都等于根号5，
下侧的下边等于根号7+1/根号3,上边为根号7-1/根号3，
由于根号5+根号7-1/根号3<5，所以不会出现火柴棒交叉的情况，
则上下分割出的三角形面积均为2，剩下的面积也为2.

笑天涯

图的大意就是三角形内分别用4根中的2根火柴连成一条线段，选择一个合适角度，分别在两个锐角处分割出面积为2的两个三角形

笑天涯

计算大概就是2元2次方程组，很方便解的，图已经发送至邮箱，请查收

昊天

这是2楼的图：


我只能很遗憾地说，这个思路不对。你用代数方法算出了两个三角形的边长，这没用！问题在于你怎样用几何方法找出A、B、C、D四个点的位置。用刻度尺来量吗？你该知道几何作图的规则吧？

weyl

可以证明斜着那根的长度刚好。

天下有敌

回复 6 # weyl 的帖子

这种方法我早就试过了
如图中，斜着的那一根要满足三个要求：
第一，长度为1,
第二，必须与斜边垂直
第三，必须与横着那一边交在中点

求证明方法

昊天

六当家正确！
如果能附上证明就更好了！证明其实并不难的

天下有敌

回复 8 # 昊天 的帖子

我来证明一下吧

设每根火柴长度为1，以两条直角边建坐标系
斜边方程为3x+4y+12=0，矩形上边的中点为(1,1)
利用点到直线的距离公式，可以算出距离为1

剩下来就是算面积了，矩形面积为2
矩形上面的图形可以分为两个直角三角形，可算出面积为2
矩形左边面积就是6-2-2=2

lcym

                               

我也试一下证明：

如下图：

取AC =2，过 C作AC的垂线BC= 1，取AD = 2，连接 AB 和BD。那么：

cos (DAC) = 3 / 5，sin(BAC） = 1 / sqrt(5), 1 –cos(DAC) = 2 sin^2 (BAC),

所以 AB是 DAC 的角平分线。三角形ADB和 ACB 全等。所以DB 垂直于 AD，DB= BC = 1. 四边形 ADBC 的面积是 2 * （1 * 2 / 2）= 2. 证毕

昊天

证明正确！
用公式tg2α=2tgα/(1-(tgα)^2)更简省点。

weyl

除了解析几何或者三角函数的倍角公式，有没有单纯平面几何的证法？

昊天

用纯几何方法当然可以，而且也不算很难。

lcym

再来试下几何的证明：
延长AG 到 H， GH = 2，连EH，其余作图和前一张一样。
所以 由 BC = 2 得 EG = 1.5 （相似三角形），再得 FE = 4 - 1.5 = 2.5.
勾股定理 得 EH = sqrt(1.5^2 + 2^2) = 2.5 = FE.
EH = FE
AF = AH = 5,
共边AE。
所以 三角形 AFE 全等 于 AHE。所以 AB 是 DAC 的角平分线。
剩余的推理不变。

昊天

       证明过程是正确的。更好的方法是从E作EH垂直于AF，则三角形EFH与三角形AFG相似，边长成比例，得FH=2，EH=1.5。然后证得三角形AEH与三角形AEG全等。证得AB平分角DAC。

       既然大家对这道题这么有兴趣，还可以再探讨一下用五根火柴三等分这个三角形。当然，现在这个问题已经很容易做到了。