关于苍龙桃花岛密码

翟刚 · 发表于 2009-8-12 09:55

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有人（金圭子、商仲仁）已经提到了，桃花岛上的数列是Fibonacci数列……
我两年前的数学竞赛底子还剩一点，不妨介绍一下：
所谓Fibonacci数列，是指这样的一个递推数列：
a(1)=1,a(2)=1,a(n+2)=a(n+1)+a(n)
具体地说，就是
a(3)=a(1)+a(2)=1+1=2
a(4)=a(2)+a(3)=1+2=3
a(5)=a(3)+a(4)=2+3=5
……
像这种数列，数学上一般称作“常系数线性递推数列”
其一般式为
a(n+k)=c(1)a(n+k-1)+c(2)a(n+k-2)+c(3)a(n+k-3)+……+c(k)a(n)+f(n)
式中k为常数，且为正整数。
该数列称为“k阶常系数线性递推数列”
那么，有一个问题：如何求这种数列的通项公式？换句话说，如何迅速知道第几项是多少？
这里就要用所谓的特征方程：
记方程x^k=c(1)*x^(k-1)+c(2)*x^(k-2)+……+c(k)为上述数列的特征方程，
记该方程的根x(1),x(2)……x(k)为该方程的特征根。
则该数列通项公式为a(n)=b(1)*x(1)^n+b(2)*x(2)^n+……+b(n)*x(n)^n
其中b(1),b(2)……b(k)等为常数，其值由a(1),a(2)……a(k)确定。

回归到刚才的Fibonacci数列……求Fibonacci数列通项是特征方程的基本习题之一。
a(n+2)=a(n+1)+a(n)
其特征方程为x^2=x+1
解方程得x(1)=(1+sqrt(5))/2,x(2)=(1-sqrt(5)/2
所以a(n)=b(1)*x(1)^n+b(2)*x(2)^n
又因为a(1)=1,a(2)=1
所以
b(1)*(1+sqrt(5))/2+b(2)*(1-sqrt(5))/2=1
b(1)*(3+sqrt(5))/2+b(2)*(3-sqrt(5))/2=1
解得
b(1)=sqrt(5)/5
b(2)=-sqrt(5)/5

所以a(n)=sqrt(5)/5 * (((1+sqrt(5))/2)^n-(1-sqrt(5))/2)^n)

这就是桃花岛上的那个数列的真实面目……
扯淡完毕。

[发帖际遇]: 翟刚遭遇四大恶人,狼狈逃窜,丢失银两4.

[ 本帖最后由翟刚于 2009-8-12 10:00 编辑 ]