恩，一道数学题（求解）

吉法师 · 发表于 2006-10-14 18:49

其实就是那个宠物装备修理题。。

宠物某装备，单价为1，假设修理前装备耐久度x/y(x>0)，那么修理后最大耐久为（x+y)/2，每次修理费用为0.05。现假设有一装备，耐久为100/100，问损坏后如何修理，可以使单位使用耐久度费用最低（（买价＋总修理价）/总使用耐久）？

给出答案（理论推导＋最后结果）的奖励1000G

穷举法的出结果的给300G

最后提示，那个x>0是关键哦，忘记了容易出错。

zergzhangzt · 发表于 2006-10-14 19:44

首先问一下，如果（x+y）/2为几点五，是舍掉还是入？如果是如……，那么99/100修理后还是100， 0/1修理后永远是1，如果是舍掉，0/1修理后，就彻底坏了…………
快快解答…………

吉法师 · 发表于 2006-10-14 23:33

舍掉

zergzhangzt · 发表于 2006-10-15 09:42

假设一次使用用掉了m点耐久，于是修理后剩余耐久为(x+y-m)/2=100－m/2，可以知道第一次剪掉使用耐久的二分之一，类推可知每一次使用后修理均是剪掉使用掉耐久的1/2，由于是线性的所以可以找到修理次数最少，可使用总耐久最大的一种模式（因为有0.5会舍掉，所以要避免出现小数），于是每次使用耐久为：100，50，24，12，6，4，2，1 一共使用8次，总使用耐久为199，修理7次，于是总的价钱就出来了：（1+0.05*7）/199＝0.0068
嘿嘿，发钱吧……

[ Last edited by zergzhangzt on 2006-10-15 at 11:34 ]

吉法师 · 发表于 2006-10-15 10:20

偶要的是数学推导方式。。。需要列出模型，式子等。。
你这个可以当成损坏99％程度时修，如何保证其他损坏q%程度时修的结果总是高于99％的呢？
另外，你的答案是错误的

还有，这个是等比模型，需要作个等差模型，就是每次损坏X时修理
然后两者比较下。。或者证明等比总是比等差好（或相反）

ltblue · 发表于 2006-10-15 10:51

因为带取整的不会用大式子求极值，穷举.......
先算使用耐久
不修是100，修一次是98+51=149，修两次是98+50+26=174，修三次是98+50+25+13=186，修四次是98+50+25+12+7=192，修五次是98+50+25+12+6+4=195，修六次是98+50+25+12+6+3+2=196，修七次是98+50+25+12+6+3+1+1=196，修8次就坏了
总效率是
p=（1+0.05*x）/a[x]*100
当x=0的时候p=1/100=1
当x=1的时候p=1.05/149=0.705
当x=2的时候p=1.1/174=0.632
当x=3的时候p=1.15/186=0.618
当x=4的时候p=1.2/192=0.625
当x=5的时候p=1.25/195=0.641
当x=6的时候p=1.3/196=0.663
当x=7的时候p=1.35/196=0.689

所以修3次最好

ltblue · 发表于 2006-10-15 10:55

Originally posted by 吉法师 at 2006-10-15 10:20 AM:
偶要的是数学推导方式。。。需要列出模型，式子等。。
你这个可以当成损坏99％程度时修，如何保证其他损坏q%程度时修的结果总是高于99％的呢？
另外，你的答案是错误的

还有，这个是等比模型，需要作个等差 ...

由于有个取整问题，式子写出来没意义
另外，损坏99%的时候修是最优的，没必要证明了吧，难道你想不出来？难道坏一半就去修一次，再坏一半再修一次，人家修1次你得修2次，那效率肯定低啊。
模型好建立，但涉及取整，很多东西我不会，再等高手吧......
另：我随便说说，不要钱的，要赚钱300块我20秒的事

吉法师 · 发表于 2006-10-15 11:06

取整部分你可以忽略啊，你穷举的结论应该是对的，但这个弄成数学题的意思就是要能用式子解出来啊。。

zergzhangzt · 发表于 2006-10-15 11:11

首先请问吉法师是学什么的？这道题目是原创么？
我都已经讲了每次修理后耐久的损失都是m/2（m是使用掉的耐久），这是一个线性模型，不是等比模型，还有对于你的题目问题有疑问，你是问最后修理到坏了之后的最高效率，还是像楼上作答的一样修理到几次之后效率最高？
还有楼上，你的最大耐久是错的，应该是199，你你要知道出现小数就要舍去，所以避免出现小数才能达到最大，举例说明，在修理到最大耐久只有25的时候，应该用到1的时候修理，这样就必便舍掉一个0。5了，最后就会比你列出来的大，还有一个问题，你最后怎么会有两个1？当只剩下1的时候，用了就彻底坏了，所以最多只能出现一个1。

ltblue · 发表于 2006-10-15 11:21

晕，我6楼的有问题
应该是这样
不修是100，修一次是98+51=149，修两次是98+50+26=174，修三次是98+50+24+14=186，修四次是98+50+25+12+8=193，修五次是98+50+25+12+6+5=196，修六次是98+50+25+12+6+4+3=198，修七次是98+50+25+12+6+4+2+2=199，修8次是98+50+25+12+64+2+1+1=199
总效率是
p=（1+0.05*x）/a[x]*100
当x=0的时候p=1/100=1
当x=1的时候p=1.05/149=0.705
当x=2的时候p=1.1/174=0.632
当x=3的时候p=1.15/186=0.618
当x=4的时候p=1.2/193=0.622
当x=5的时候p=1.25/196=0.638
当x=6的时候p=1.3/198=0.657
当x=7的时候p=1.35/199=0.678
当x=8的时候p=1.4/199=0.704

发现如果剩余耐久是偶数的话，不用到剩1，用到剩2反而更好
当然，修改后差别不大，还是3次最好

zergzhangzt · 发表于 2006-10-15 11:36

楼上，你有没有注意你的小数点？问题很大啊！
还有你为什么不把耐久用到0了再修呢？

ltblue · 发表于 2006-10-15 11:41

恩，如果不考虑取整的话，式子很好弄的
实际能用的耐久为
200-（0.5）^x*100
其中x为修理次数
于是效率为
（1+0.05*x）/（200-（0.5）^x*100)
式子算了半天，导数是求出来了，方程不会解了......数学太差了，抱歉。

ltblue · 发表于 2006-10-15 11:48

Originally posted by zergzhangzt at 2006-10-15 11:11 AM:
首先请问吉法师是学什么的？这道题目是原创么？
我都已经讲了每次修理后耐久的损失都是m/2（m是使用掉的耐久），这是一个线性模型，不是等比模型，还有对于你的题目问题有疑问，你是问最后修理到坏了之后的最高 ...

看看我的10楼对没有，呵呵。

吉法师 · 发表于 2006-10-15 11:51

Originally posted by zergzhangzt at 2006-10-15 11:11 AM:
首先请问吉法师是学什么的？这道题目是原创么？
我都已经讲了每次修理后耐久的损失都是m/2（m是使用掉的耐久），这是一个线性模型，不是等比模型，还有对于你的题目问题有疑问，你是问最后修理到坏了之后的最高 ...

反正偶不是学数学的。。这题算是原创吧
线性模型是什么，不懂。

问的当然是修理几次以后最高啊，原来是100/100，买价是1，修理一次花费5％，也就是每次修理必须要提升5点以上耐久，否则还不如新买个呢
还有偶原题里写着x>0了，也就是耐久不能降到0，恩就这么多

ltblue · 发表于 2006-10-15 11:51

Originally posted by zergzhangzt at 2006-10-15 11:11 AM:
首先请问吉法师是学什么的？这道题目是原创么？
我都已经讲了每次修理后耐久的损失都是m/2（m是使用掉的耐久），这是一个线性模型，不是等比模型，还有对于你的题目问题有疑问，你是问最后修理到坏了之后的最高 ...

看看我的10楼对没有，呵呵。

ltblue · 发表于 2006-10-15 11:55

Originally posted by zergzhangzt at 2006-10-15 11:36 AM:
楼上，你有没有注意你的小数点？问题很大啊！
还有你为什么不把耐久用到0了再修呢？

小数点什么问题？没发现啊
用到0就坏了，物品就没了，不能修了的

ltblue · 发表于 2006-10-15 11:59

模型中既有等差成分，又用等比成分的
要知道，你每次修理时候的耐久度是等比的，q=0.5
第一次修是100左右，然后分别是50，25，12，6，3，2，1左右（只是左右，由于有取整问题，不很精确），这就是个等比的过程

吉法师 · 发表于 2006-10-15 12:03

Originally posted by ltblue at 2006-10-15 11:41 AM:
恩，如果不考虑取整的话，式子很好弄的
实际能用的耐久为
200-（0.5）^x*100
其中x为修理次数
于是效率为
（1+0.05*x）/（200-（0.5）^x*100)
式子算了半天，导数是求出来了，方程不会解了......数学太差了 ...

这个是什么啊，看不懂。。这是假设在损坏到1再修的式子吗？
偶的问题是应该在什么损坏程度开始修，而不是按损坏到1以后修理的模式，修理几次最好。。
而且你这个就算解出来也不是整数，你设的是修理次数

zergzhangzt · 发表于 2006-10-15 12:08

我没有注意X>0的问题，所以我的推理有问题，楼上的楼上你的得数，数位有问题……1.4/199＝0.00704

"^"这个符号是指数么？

zergzhangzt · 发表于 2006-10-15 12:23

果然，如果不考虑耐久度的取整问题可以用你列出来的式子：
f(n)=(1+0.05*n)/[100(2-0.5^n)] （n为整数）问题就转化为求这个函数最小值的问题了。不过导数求出来后，方程里面含有0.5^x 和ln0.5所以方程不好算。
对了，南宫大大是教数学的，叫他来看看吧。
另，忽略了取整的问题会有很大的误差，比如上面的函数，当n取6时就已经没有意义了……

ltblue · 发表于 2006-10-15 12:27

当然不是整数，你不是说忽略取整么？
什么损坏程度开始修？必然是损坏到1或2的时候开始修拉，你难道想不出来么。
如果不假设损坏到很小的时候再修，这样吧，比如损坏到a的时候修理（a是0-1之间的数），那么上面的式子为
（1+0.05*x）/（200-（0.5+a/2）^x*100）
你自己算算，这两个式子在x相等的时候哪个大？哪个大哪个不好，你自己想吧

郁闷了，本来以为是个很有难度的题呢......原来楼主是这个意思，一点技术含量都没有

ltblue · 发表于 2006-10-15 12:43

晕，想必开那么多小数点的，结果失败了......
^是指数

吉法师 · 发表于 2006-10-15 12:47

Originally posted by ltblue at 2006-10-15 12:27 PM:
当然不是整数，你不是说忽略取整么？
什么损坏程度开始修？必然是损坏到1或2的时候开始修拉，你难道想不出来么。
如果不假设损坏到很小的时候再修，这样吧，比如损坏到a的时候修理（a是0-1之间的数），那么上面 ...

偶说你那个x算出来不是整数。
另外在x相同的时候当然是到1的时候修最好，问题x不相同的时候呢？
到1的时候修，x=3最好，没有修第4次的必要，也许到a的时候修，修4次比到1的时候修3次好呢？

ltblue · 发表于 2006-10-15 13:21

晕了......
到a的时候，我已经证明了，在任何修理次数的情况下，a取0的最好的，0不行就取1（忽略取整带来的问题）。
你说也许a的时候修4次比1的时候修3次好，这是不可能的
因为a的时候修4次没有1的时候修4次好（你看式子，次数相同的时候，a越小越好）
而1修3次比修4次好
所以1修3次》1修4次》a修4次
就好象因为3大于2，又因为2大于1，所以3大于1一样
你明白了么？不行我就讲讲三段论，呵呵

妖狐 · 发表于 2006-10-15 13:26

各位各位

昨天晚上我想着这个问题就睡着了，梦里发现，这个总耐久最大是2
既然分母固定了，那么就看分子了，1+0.05*n-0.5
由于这个0.05实在是不大，所以修几次的影响不大
那个100，50，25，12的修4，5次就行了

大约每损坏0.2的时候修一次就好了，这样也得修个8.9次啊

坏了就买新的1+0.05-0.5=0.55，就是1耐久对应0.55的钱
这么算2耐久对应0.55，就是修理的上限是11次，对吧

如果修来修去
还大于这的话，那还是买新的吧

[ Last edited by 妖狐 on 2006-10-15 at 13:58 ]

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